Back

ⓘ Մաթեմաթիկական ապացոյց




Մաթեմաթիկական ապացոյց
                                     

ⓘ Մաթեմաթիկական ապացոյց

Մաթեմաթիկական ապացոյցը մաթեմաթիկական պնդման համար տրամաբանական փաստարկ է, որ ցուց կու տայ, որ նշուած դատողութիւնները տրամաբանօրէն կերաշխաւորեն եզրակացութիւնը: Փաստարկը կարելի է օգտագործել նախկին դուրս բերուած այլ պնդումներ, ինչպիսիք օրէնքներն են, սակայն իւրաքանչիւր ապացոյց սկզբունքօրէն, կարելի է կառուցուել՝ օգտագործելով միայն որոշ հիմնական կամ նախնական ենթադրութիւններ, որոնք յայտնի են որպէս աքսիոմներ, մտահանգման ընդունելի կանոններով։ Ապացոյցները ողջամիտ ակնկալիքը հաստատող, սպառիչ deductive հիմնաւորման օրինակներ են, որոնք տրամաբանական որոշակիութիւն կը ստեղծեն, որոնք կը տարբերուին empiric փորձական փաստարկներէն կամ ոչ սպառիչ մակածութիւնը induction պատճառաբանութիւնէն։ Չհաստատուած ենթադրութիւնը, որու վերաբերեալ կարծիք կայ, որ ճիշտ է, յայտնի է որպէս վարկած, կամ ենթադրութիւն hypothesis, հետագայ մաթեմաթիկական մտահանգումներու համար, յաճախ կօգտագործուի որպէս ենթադրութիւն։

Ապացոյցները, բնական լեզուի հետ մէկտեղ, որոնք սովորաբար երկիմաստութիւն կը պարունակեն, կօգտագործեն որոշակի տրամաբանութիւն արտայայտող մաթեմաթիկական սիմվոլներ։ Ապացոյցներու տեսութեան մէջ կը դիտարկուին առանց բնական լեզուի օգտագործման, սիմվոլիկ լեզուով գրուած, լիովին ֆորմալ ապացոյցները։ Ֆորմալ եւ ոչ ֆորմալ ապացոյցներու տարբերութիւնը բերած է ընթացիկ եւ պատմական մաթեմաթիկական փորձառութեան քննութեան՝ քվազի-էմփիքրիզմին մաթեմաթիկայի մէջ, եւ այսպէս կոչուած ժողովրդական մաթեմաթիկային, հիմնական մաթեմաթիկան հանրութեան եւ այլ մշակոյթներու մէջ բանաւոր աւանդոյթներուն։ Մաթեմատիկայի փիլիսոփայությունը կապուած է ապացույցներու մէջ լեզուի եւ տրամաբանութեան դերին եւ մաթեմաթիկային որպէս լեզու։

                                     

1. Պատմութիւն եւ ստուգաբանութիւն

Տե՛ս նաեւ՝ History of logic "Վստահութիւն" իրաւական թերմինը կը նշանակէ հեղինակութիւն կամ հաւաստիութիւն՝ փաստեր ապացուցելու համար, հեղինակութիւն կամ կարգավիճակ ունեցող անձանց կողմէն տրուած վկայութեան ուժ:

Խիստ մաթեմաթիկական ապացոյցներուն նախորդեր են նմանութեան փաստարկները, ինչպիսիք են նկարները եւ նմանները analogic։ Հաւանաբար, եզրակացութեան գաղափարը առաջացեր է երկրաչափութեան հետ կապուած, որ ծագեր է հողերու չափման գործնական խնդիրներէն։Մաթեմաթիկական ապացոյցի զարգացումը առաջին հերթին հին յունական մաթեմաթիկայի արգասիքն է եւ անոր ամենամեծ նուաճումներէն մէկը։Թալեսը Ք.Ա. 624–546 եւ Հիփոքրաթ Քիոսը Hippocrates of Chios Ք.Ա. 470–410 տուին երկրաչափութեան օրէնքներու առաջին յայտնի ապացոյցները: Եւտոքսը Ք.Ա. 408–355 եւ Թեետետոսը Ք.Ա. 417–369 ձեւակերպեր են օրէնքներ, բայց ատոնք չեն ապացուցեր: Արիսթոթելը Ք.Ա. 384–322 կըսէր, որ սահմանումները պէտք է նկարագրեն հասկացութիւնը, որ կը սահմանէ արդէն յայտնի միւս հասկացութիւններու միջոցով:

Մաթեմաթիկական ապացոյցը յեղփոխականացուեցաւ Էվկլիդեսի կողմից Ք.Ա․300, որ մտցուց աքսիոմաթիկ մեթոտ, որ մինչեւ այսօր կօգտագործուի։ Այն կը սկսի չսահմանուած հասկացութիւններէն եւ աքսիոմներէն, կենթադրուի որ չսահմանուած թերմինները ինքնին ակնյայտ է որ ճիշտ են յունարէն "axios", ինչ որ արժէքաւոր բան։ Այս հիմքի վրայ մեթոտը օրէնքները կապացուցէ օգտագործելով deductive նուացեցման տրամաբանութիւն։ Էւկլիտեսի Տարրեր գիրքը մինչեւ 20-րդ դար կը կարդար իւրաքանչիւրը, որ կը համարուէր կրթուած։ Ի յաւելումն երկրաչափական օրէնքներու, ինչպիսին Փիւթակորի օրէնքն է, Տարրերը նաեւ կը ծածկէր թիւերու տեսութիւնը, ներառեալ, որ քառակուսի արմատ երկուքէն իռացիոնալ է եւ ապացոյցը այն բանի որ պարզ թիւերու քանակը անվերջ է։

Հետագայ առաջընթացներ տեղի ունեցան միջնադարեան իսլամական մաթեմաթիկայի մէջ։ Մինչ վաղ յունական ապացոյցները հիմնականին կը կրէին երկրաչափական ցուցադրութիւններ, մահմետական մաթեմաթիկոսներու կողմէն թուաբանութեան եւ հանրահաշուի զարգացումը աւելի ընդհանուր ապացոյցներ կօգտագործէին, անկախ երկրաչափական մտատեսութիւնէն intuition։ 10-րդ դարու Իրաքեան մաթեմաթիկոս Al-Hashimi-ն թիւերու հետ կաշխատէր որպէս շարքեր եւ հանրահաշուական գործողութիւններ պարունակող առաջադրանքները, ներառեալ անտրամաբանական թիւերու գոյութիւնը, ապացուցելու համար, անպայման չէ երկրաչափական առարկաներու չափումներ կատարել։Ալ-Ֆաղրիում 1000 Ալ-Քարաճին մակածութեան induction մեթոտը օգտագործեց թուաբանական յառաջատուութեան համար։ Ան այն օգտագործեց նաեւ binomial theorem երկրաբաշխական օրէնքը ապացուցելու եւ Փասքալի եռանկեան յատկութիւններու համար։ Ալ հազենը ապուցուցման եղանակները զարգացուց "հակառակ ենթադրութիւնէն ապացոյցով", որպէս առաջին փորձ կիրառելով այն եւկլիտեան Euclidian երկրաչափութեան զուգահեռութեան յառաջադրութիւնը կամ ենթադրութիւնը postulate ապացուցելու համար։

Ժամանակակից ապացուցներու տեսութիւնը ապացոյցները կը դիտարկէ որպէս մակածութեան induction սահմանուած տուեալներու կառուցուածք, որոնք չեն պահանջեր աքսիոմներու ճշմարիտ լինելը որեւէ իմաստով։ Այս թոյլ կու տայ զուգահեռ օգտագործել զուգահեռ մաթեմաթիկական տեսութիւններ որպէս տուած մտատեսութիւն intuition հասկացութեան ֆորմալ մոտելներ, որոնք հիմնուած են աքսիոմաներու alternative փոխընտրութիւն բազմութեան վրայ, օրինակ, բազմութիւններու աքսիոմաթիկ տեսութիւն եւ Ոչ-եւկլիտեան Euclidian երկրաչափութիւն։

                                     

2. Էութիւն եւ նպատակ

Գործնականի ապացոյցը կարտայայտուի բնական լեզուով եւ պնդման ճշմարտութեան մէջ համոզելու համար խիստ փաստարկ է։ Խստութեան չափանիշը standard չէ եւ պատմութեան ընթացքին փոփոխութիւններու ենթարկուեր է։ Կախուած ենթադրուող լսարանէն ապացոյց տարբեր կերպ կարող է ներկայացուիլ։ Որպէսզի լսարանի կողմէն ապացոյցն ընդունուի, այն պէտք է համապատասխանէ խստութեան ընդունուած չափանիշներուն, անորոշ կամ ոչ լրիւ փաստարկները հնարաւոր է մերժուին։

Ապացոյց հասկացութիւնը ձեւաւորուեր է մաթեմաթիկական տրամաբանութեան ոլորտի մէջ։ Ֆորմալ ապացոյցը կը գրուի ֆորմալ լեզուով։ Ֆորմալ ապացոյցը այդ ֆորմալ լեզուով գրուած բանաձեւերու յաջորդականութիւն է, որ կը սկսի ենթադրութիւնէն, եւ իւրաքանչիւր յաջորդ բանաձեւը նախորդներու տրամաբանական հետեւութիւնն է։ Այս սահմանումը ապացոյցը կը դարձնէ ուսումնասիրութեան առարկայ: Իսկապէս, ապացոյցներու տեսութեան ոլորտը կուսումնասիրէէ ձեւական ապացոյցները եւ ատոնց յատկութիւնները, որոնցմէ ամենայայտնի եւ զարմանալին այն է, որ համարեայ բոլոր աքսիոմաթիք համակարգերը կարող են առաջացնել որոշակի չհիմնաւորուած պնդումներ, որոնք համակարգէն ներս ապացուցելի չեն:

Ֆորմալ ապացոյցի սահմանումը նպատակ ունի ընդգրկել ապացոյցներու հայեցակարգը այնպէս, ինչպէս ընդունուած է մաթեմաթիքայի practice կիռարութեան մէջ: Այս սահմանման հիմնաւորումը կենթադրէ, որ հրապարակուած ապացոյցը սկզբունքօրէն կարող է վերաձեւակերպուիլ ֆորմալ ապացոյցի։ Սակայն բացի ինքնագործ automatic ապացոյցի օգնականի կիրառումէն, այս practice կիռարութիւնը հազուադէպ կը հանդիպի։ Փիլիսոփայութեան դասական հարցն է՝ մաթեմաթիկական ապացոյցները արդեօք վերլուծական են, թէ synthetic համադրական կամ բաղադրական, Քանթը, որ մտցուց վերլուծական-համադրական analytic-synthetic տարբերութիւնը, կը կարծէր, որ մաթեմաթիկական ապացոյցները synthetic համադրական են, մինչդեռ Քուէ նը 1951 թուականին իր "Էմփիրիզմի երկու տոկմա" աշխատութեան մէջ կը պնդէր, որ այդպիսի տարբերակումը անթոյլատրելի է։

Ապացոյցները կարող են հիացնել իրենց մաթեմաթիկական գեղեցկութեամբ։ Մաթեմաթիկոս Փոլ Էրտիոսը յայտնի էր յատկապես էլեկանթ ապացոյցները նկարագրելու համար, որ կը վերցնէր վարկածական կամ ենթադրական hypothetic "The Book" հատորէն, որ իւրաքանչիւր օրէնքի theorem ամենագեղեցիկ ապացոյցը կը պարունակէր։ Proofs from THE BOOK գիրքը, հրապարակուերէ 2003 թուականին եւ նուիրուած է 32 ապացոյցներու ներկայացմանը, որոնք անոնց խմբագիրները յատկապես գեղեցիկ կը համարեն:

                                     

3.1. Մեթոդներ Ուղիղ ապացույց

Ուղիղ ապացոյցի մէջ եզրակացութիւնը դուրս կը բերէ տրամաբանօրէն զուգակցելով աքսիոմները, սահմանումները եւ վաղ օրէնքները։ Օրինակ, ուղիղ ապացոյցը կարող է օգտագործուիլ ապացուցելու որ երկու զոյգ թիւերու գումարը միշտ զոյգ է։

Ենթադրենք x եւ y զոյգ թիւեր են։ Քանի որ անոնք զոյգ են, ապա կարող են ներկայացուիլ x = 2a եւ y = 2b, ուր a եւ b ամբողջ թիւեր են։ Ուստի x + y = 2a + 2b = 2a+b. Այսպիսով x+y ունի 2 գործակից եւ ըստ սահմանման զոյգ է։ Հետեւաբար երկու զոյգ թիւերու գումարը զոյգ է։ Այս ապացոյցը կօգտագործէ զոյգ թիւերու սահմանումը, գումարման, բազմապատկման եւ բաշխելիութեան նկատմամբ ամբողջ թիւերու բազմութեան փակ ըլլալը։

                                     

3.2. Մեթոդներ Ապացոյց մաթեմաթիկական մակածութեանի induction միջոցով

Հիմնական յօդուած՝ Մաթեմաթիկական մակածութիւն induction

Հակառակ անուանումին, մաթեմաթիկական մակածութիւնը induction deduction մեթոտ է, ոչ թէ մակածութեան induction մտահանգման ձեւ։ Մաթեմաթիկական մակածութեանի induction միջոցով կապացուցուին "եզակի դէպքը" կապացուցուի եւ "մակածութեան induction կանոնը", որ կը հաստատէ իւրաքանչիւր պատահական դէպքի իրաւացիութիւնը կենթադրէ յաջորդի իրաւացիութիւնը։ Քանի որ մակածութեան induction կանոնը կարելի է կիրառել բազմակի, ուստի բոլոր անվերջ դէպքերը ապացուցելի են։ Այսպէսով կը խուսափինք իւրաքանչիւր դէպքն առանձին ապացուցելու անհրաժեշտութիւնէն։ Մաթեմաթիկական մակածութեան induction տարբերակ է անվերջ նուազման եղանակով ապացոյցը, որ կարող է օգտագործուիլ, օրինակ, երկուքի քառակուսի արմատի irrationalism անտրամաբանական տեսութիւնը ապացուցելու համար։

Մաթեմաթիկական մակածութեան induction միջոցով ապացոյցի յաճախ հանդիպող կիրառումը այն է՝ ապացուցել, որեւէ բնական թիւի համար յայտնի որեւէ յատկութիւն, ճշմարիտ է նաեւ բոլոր բնական թիւերու համար։ Թիւի մը ։ Ենթադրենք N = {1.2.3.4. } բնական թիւերու բազմութիւն է, եւ P n մաթեմաթիկական կը պնդէ, որ տեղի ունի n բնական թիւի համար N բազմութիւնէն, այնպէս որ such that

  • ii P n +1 ճիշտ է, երբ P n ճիշտ է, այսինքն, P n ճիշտ ըլլալէն հետեւութիւն կընենք, որ P n +1 ճիշտ է։
  • i P 1 ճիշտ է, այսինքն, P n ճիշտ է n = 1 -ի համար։
  • Ապա P n ճիշտ է բոլոր բնական թիւերու համար n ։

Օրինակ, մենք մակածութիւնով induction կարող ենք ապացուցել, որ 2 n − 1 տեսքի բոլոր դրական ամբողջ թիւերը կենտ են։

Ենթադրենք P n կը ներկայացուի այս տեսքով 2 n − 1 կենտ է": i n = 1 -ի համար, 2 n − 1 = 21 − 1 = 1, և 1 կենտ է, քանի որ այն 2 -ի բաժանելով 1 մնացորդ կու տայ։ Այսպիսով P 1 -ը ճիշտ է։ ii ցանկացած n -ի համար, եթե 2 n − 1 -ը կենտ է P n), ապա 2 n − 1 + 2 նոյնպէս պետք է կենտ ըլլայ, կենտ թիւին 2 գումարելով, կը ստանանք կենտ թիւ։ Սակայն 2 n − 1 + 2 = 2 n + 1 = 2n +1 − 1, ուստի 2n +1 − 1 կենտ է P n +1). So P n implies P n +1. Այսպիսով 2 n − 1 -ը կենտ է բոլոր n դրական ամբողջ թիւերու համար։

Յաճախ "մաթեմաթիկական մակածութեանի induction միջոցով ապացոյց" արտայայտութեան փոխարէն կօգտագործուի աւելի կարճ "մակածութեանի միջոցով ապացոյց" արտայայտութիւնը։